喝前摇一摇，考前背一背

Jing Ouyang2023-08-242024-10-25

本文宗旨

距离24考研接近100天，各位150分的苗子应该已经逐渐完成强化阶段，进入真题和模拟题的训练当中👏。笔者在套卷练习的过程中，发现很多题目虽然能给出一套做题思路，但需要开卷查看已有结论，尤其是数学一概率论部分😭，比如利用方差或样本方差判断分布的四条公式，还有各种概率分布和样本分布的方差均值，每次笔者自己做到套卷最后两道选择题时都不得不翻书，更为明显的例子是计算一阶微分方程$y’+P(x)y=Q(x)$时，强化阶段可以以锻练基本功为由每次遇到都手。在这个阶段除了保证每周两到三张套卷来维持手感的情况下，希望能和观看帖子的诸位一起补充完成这份喝前摇一摇，考前背一背清单，笔者归纳能力有限，也难以避免会出现一些“fat finger”的情况希望能够理解。如有修正或者补充乃至对网站维护的建议，欢迎通过邮件或者issue向我提出。条件允许的话也请为我的仓库点个star，感激不尽！

祝大家全部上岸！

高等数学

中值定理

罗尔定理

$f(x)$在$[a,b]$上连续，若 $f(a) = f(b)$ ,则存在 $ \xi \in(a,b),f’(\xi) = 0$
拉格朗日中值定理

$f(x)$在$[a,b]$上连续，则存在 $ \xi \in(a,b)$,有$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f’(\xi)$

出现$f$ 与$f’$的关系时多考虑，只有一个$f$时找$f(x) = 0$
柯西中值定理

$f(x)$,$g(x)$在$[a,b]$上连续，则存在$ \xi \in(a,b)$,有$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}$

一般$f$和$g$一个具体一个抽象
泰勒公式

这个都要来查的建议先复习到两点😡

🌟在出现$f$和$f’’$的时候重点考虑

常见积分

不定积分
$$
\int \tan x dx = -ln|\cot x|+c
$$
$$
\int \frac{dx}{\cos x} = ln|\frac{1}{\cos x}+\tan x|+c
$$
$$
\int \frac{dx}{\sin x} = ln|\frac{1}{\sin x}-\tan x|+c
$$
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+c
$$
$$
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+c
$$
$$
\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a}ln|\frac{x-a}{x+a}|+c
$$
$$
\int \tan^2 x dx = \tan x -x+c
$$
$$
\int \cot^2 x dx = -\cot x-x +c
$$

简单的二次曲面（记名字）

单叶双曲面
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = 1
$$
双叶双曲面
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2} = -1
$$

以上统称旋转双曲面
椭圆抛物面
$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = cz
$$
双曲抛物面（马鞍面）
$$
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2} = cz
$$

空间几何

曲面的法向量：

曲面:$F(x,y,z) = 0$,法向量: $\vec{\lambda} = (F’_x,F’_y,F’_z)$

曲线的切向量：

曲面的交线：

微分方程

一阶非齐次线性微分方程
$$y’+P(x)y=Q(x)$$
$$
y = (
\int q(x)e^{\int p(x) dx}+c
)e^{-\int p(x) dx}
$$

曲线与曲面积分

Jacobi行列值

第一型曲线积分(“一投，二代，三计算”)

第二形曲线积分

一投，二代，三计算
斯托克斯公式（封闭无奇点）

可以同旋度公式一起记

第一型曲面积分

第二型曲面积分（别总是无脑上高斯）

$$
\small \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
$$

直接投影
$$
\tiny \iint_{S_1}Pdydz+\iint_{S_2}Qdzdx+\iint_{S_3}Rdxdy
$$
转换投影
$$
\iint_{D_{xy}}[P(-\frac{\partial z}{\partial x})+Q(-\frac{\partial z}{\partial y})+R]dxdy
$$
高斯公式（建议最后再考虑）
$$
\small \iiint_V(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dxdydz
$$

概率论与数理统计

正态总体下的常用结论

正态分布

$$
\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})
$$
已知期望和方差下的总体分布

$$
\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\sim \mathcal{X}^2(n)
$$
未知期望已知方差下的总体分布
未知方差已知期望下的总体分布